7-5中从低维映射回高维公式的意义？
来源：7-5 高维数据映射为低维数据
烈焰卡卡
2018-03-01
老师好！请问一下，从高维映射到低维，是X中每个向量与每个w向量点乘，意义是得到新的X在每个w维度上的模长，这个容易理解。但是反向映射时，将这个结果再与w整个矩阵做点乘，实际上是新的X分别于w矩阵每一列（每个w的第i个元素）相乘，这个做法的实际意义该如何理解？为何结果就是损失了一部分数据的高维数据呢？
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通常是不需要进行这个反向映射的，在这里只是说明PCA可以进行这个逆向的过程。如果你的特征本身存在语意，由于降维后丢失了语意信息，所以反向映射后，可以看到降维后的数据再恢复到原特征空间，原有的特征对应是多少。不过其实如果特征的语意比较强，通常也不大使用PCA进行降维处理。
降维本身就是有代价的，在降维的过程中一定会丢失信息。这个反向映射是不可能增加信息的。这个很好理解：一个一维数据（一条直线），就算扔到三维空间，它还是一条直线。PCA的反向映射同理：如果已经将一个三维数据降维成为一维数据，其代价就是丢失了信息。反向映射回原来的三维空间，丢失的数据也回不来：）
032022-09-13 -
liuyubobobo
2018-03-22
回答问题的时候又翻到了这个问题，补充一句。非常有意思。最近我老婆在做一个数据分析的任务的时候，恰恰就用到了要把PCA降维后的低维数据映射回高维空间的需求。因为她需要检验：降维以后的低维数据，在高维空间中，各个特征对结果的影响大小。这里的关键还是：低维空间虽然维度降低了，但丢失了特征的语意。如果想考察特征的语意相关的信息，就需要回到原始的高维空间。其实，PCA是很多特征提取方法的第一步呢：）
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