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liuyubobobo

2022-01-07

为什么三维向量(x, y, z)的模是 sqrt(x^2 + y^2 + z^2)?

我们可以想成，我们先求出 xy 平面上 (x, y) 的模（即 z 取 0），是 sqrt(x^2 + y^2)。在这个基础上，有一个 z 轴，和 xy 平面垂直，所以我们有一个直角三角形，其中一个直角边是 sqrt(x^2 + y^2)，另一个直角边是 |z|，斜边就是 (x, y, z) 的模。根据勾股定理，斜边的长度就是 sqrt(sqrt(x^2 + y^2)^2 + z^2)，即 sqrt(x^2 + y^2 + z^2)。

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四维同理。(a, b, c, d) 的模是谁？

我们可以先求出在 abc 空间中的模（即 d 取 0），这个模是 sqrt(a^2 + b^2 + c^2)。（上面推出来了）

在这个基础上，有一个 d 轴，和 abc 空间垂直。（我们无法可视化出 d 轴和 abc 空间之间的关系，因为我们是生存在三维空间的生物。但是我们可以使用数学的方式定义出来这个轴，即 d 轴和 abc 空间中的任意直线垂直。更数学的说，就是 d 轴上的任意向量和 abc 空间中的任意向量点乘为 0。）

那么，我们就同理得到了一个直角三角形，这个直角三角形的一个直角边是 sqrt(a^2 + b^2 + c^2)，另一个直角边是 |d|，斜边就是 (a, b, c, d) 的模。根据勾股定理，斜边的长度就是 sqrt(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)^2 + d^2)，即 sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)。

这个逻辑可以一直推广到 n 维空间（先求出 n - 1 维空间中的模，然后根据勾股定理，再加上新的维度带来的影响。）

继续加油！：）

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慕粉3162857

谢谢，波波老师

2022-01-07

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