矩阵不可逆的话，列向量还是一组空间的基吗？

来源：8-6 空间的基

射水鱼

2022-02-05

老师您好：
PPT中，矩阵(4 2;1 3)与向量(2,2)相乘，
如果这个矩阵是不可逆的，是否可以认为这个矩阵的列向量不能组成一组空间的基？

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1回答

liuyubobobo

2022-02-05

是的。如果矩阵不可逆，则这个矩阵的列向量一定不能组成空间的基。

我们不断扩充多个这个和矩阵可逆等价关系的命题组，其中的逆否命题也一定成立。

所以，因为方阵 A 可逆 <=> A 的列向量是 n 维空间的基，

就有：方阵 A 不可逆 <=> A 的列向量一定不是 n 维空间的基。

//img.mukewang.com/szimg/61fe3cc009aabbd516581074.jpg

继续加油！：）

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射水鱼

我也正想问的。看到老师的答案也豁然开朗了。也就说，如果无解，那么列向量一定是共线的了（不共线的话，肯定能生成空间了，仅仅针对二维空间）列向量共线，就会导致高斯消元的时候出现全零行，那么也就是无解了。

2022-06-01

共2条回复

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