n阶矩阵有n个特征值
来源：13-5 “不简单”的特征值
江景又妍和
2019-07-23
bobo老师，我今天看线代课本，有一个默认的结论说，如果说A是n维矩阵，那么它对应的特征值有n个。这个结论我想了一下您之前所说的一个特征值就对应一个特征空间，然后没有想明白这里的是指对应于n个特征空间吗？ 为什么这个n维的变换矩阵会对应n个特征空间呢？老师可以从几何的层面讲解一下嘛，感觉这样会更容易理解。麻烦老师啦(*°∀°)=3
2回答
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1.
首先，为什么A是n维方阵，对应特征值有n个？
因为，我们求解特征值的方法，即特征方程：det(A-λI) = 0，一定是一个关于λ的n次方程！所以，λ有n个解。（但有可能有重复解或者复数解）
以下是第2小节ppt截图：
2.
为什么每一个特征值就对应一个特征空间？
所谓的特征空间，就是特征向量（加零向量）组成的空间。因为每一个特征值对应一组特征向量，所以每一个特征值自然对应一组特征空间。
这里的关键，其实是：凭什么一个特征值对应的一组特征向量，形成了向量空间？（注意：向量空间是有条件的，及课程中介绍的对向量加法和点乘封闭）
答案是：根据特征向量求解的式子，我们能看到，特征向量就是A-λI的零空间。（这里用到了零空间的定义。）
以下是第2小节ppt截图：
3.
几何解释
特征值和特征空间就是比较抽象。尤其是在有重根和复数根的情况下。
这一章后续，介绍的矩阵对角化，可以看作是对如果A有n个线性无关的特征向量的话，对应的一个几何解释。
因为根据可对角化的原理，如果A有n个线性无关的特征向量，则A一定和这样一个D相似：
将矩阵相似性的时候，我一直强调相似型的一个几何含义：即A和B相似，代表A和B是同样的变换，只是观察坐标系不同。
那么，上面的A可以对角化，就说明，A和D本质是一样的。但是，D就是一个正交矩阵。它表示的变换，知识在各个坐标轴上缩放一个倍数而已。所以，A变换，本质就是D这个变换，也就是在各个维度缩放了特征值大小这么多倍！
但是，这里没有考虑旋转，旋转是被矩阵P定义的，而矩阵P是有由特征向量构成的。
由于A有n个线性无关的特征值，所以A的n个特征向量空间一定是1维的（回忆一下：几何重数等于代数重数）
换句话说，每一个特征向量空间，就是一个坐标轴！（这可能就是你要的几何解释）
因此，所有的特征向量构成的矩阵，就是对原矩阵A进行一个坐标转换，转换后，A就变成了一个D这样简单的变换。
这里，还要再融会贯通一下相似性的这个图：
当然，这里只是对A有n个不同的特征向量的情况做的说明。
如果A的特征值有重根或者复数，理解起来就更复杂了。印象课程中说过，我们在这个课程中不考虑这些情况。（我印象里听同学说过，考研中似乎也不会应用有重根的特征值？最多是求解？）
加油！：）
012019-07-24 -
江景又妍和
提问者
2019-07-23
对了，老师这里所说的n个特征值包括重根，即一个二重根看做两个特征值
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