1回答

liuyubobobo

2022-06-25

已采纳

为了方便起见，我们只考虑只有一个 x 的情况。

你现在要做的事情是，给出了一堆 x（因为只有一维，每个 x 就是一个数字）和一堆 y，“拟合”出一条直线方程 y = w0 + w1x。

因为给出的是一堆 x 和一堆 y，我们可以把这个式子写成矩阵的形式。

y = [ y1 ]    X = [1 x1]   w = [w0]
      y2           1 x2         w1
      y3           1 x3
      ...          ...
      yn           1 xn

这样一来，我们就可以表示成：y = Xw

==========

这里注意，关键来了。在上面的这个叙述中，我们关注的，其实是两个空间。

第一个空间，是这个方程 y = Xw 所表示的空间。这个空间是二维的。其中一个维度是 y，另一个维度是 x。给出一组 w，就能在这个空间中找到一组对应的 (x, y)。

另一个空间是向量 w 构成的空间，这个空间也是二维的，其中一个维度是 w0，另一个维度是 w1。在这个空间中的每一组 (w0, w1)，都对应了 (x, y) 空间中的一条直线。

我们在 w 空间中不考虑截距。因为 w 空间描述的不是 w0 和 w1 之间的关系，而是 y = Xw 这个方程的所有系数的可能性，组成了一个二维空间。

而我们在 (x, y) 空间中考虑截距，因为我们在这个空间中探求的是 y 和 x 之间的关系。y 和 x 之间的关系，可能还有一个截距的影响。

我们当然可以在 w 空间画出有截距的直线，比如 w0 = kw1 + b。但是这个形式对我们解决这个问题没有帮助。因为我们当前面对的问题，w0 和 w1 之间没有这个关系。w0 和 w1 是相互独立的。

但是我们在看待 (x, y) 这个空间的时候，x 和 y 不是独立的。y 是随着 x 变化的。如果我们只看 x 的话（在实际做统计分析的时候，就是如此），他就是一维的。因为一旦 x 确定，y 就确定了。x 是自变量，是能够任意变化的，y 是因变量，是 x 变化的结果，而非一个独立的维度。但是 w0 和 w1 中不是这样的关系。

上面的描述中，一维和二维是两个东西。在上面的例子中，w 是二维的，x 是一维的。x 和 y 在一起，才构成了另一个二维空间。在这个二维空间中，x 和 y 之间的关系才可能存在一个截距的影响。（也正是因为要考虑这个影响，w 才是二维的，而非一维的。）

==========

推而广之，如果我们的样本数据 x 的特征个数是 d 维的，那么为了表达这 d 个特征和一个目标结果 y 之间的关系，我们要求的系数，是分布在（另一个） d + 1 维的空间的。

这两个空间的轴表达的意思完全不同。一个坐标轴是不同的特征 x 加上一个 y；另一个坐标轴是不同维度的 w。你的描述中觉得“有点儿乱”，大概率是因为把这两个空间混为一谈了。

继续加油！：）

1

5

code_bean

回复

liuyubobobo

嗯嗯 : )

2022-06-25

共5条回复