b’就是 b在A的列空间的投影 的理解
来源：10-8 本章小结和更多和投影相关的话题
weixin_慕前端4441095
2023-06-05
老师好，视频的5：50的地方,我的理解是：
b’就是 b在A的列空间的投影 ===》 计算这个投影的目的是去求解一个Ax=b的近似解x’
但是，A的列空间中，有无数个正交基组成的列空间，在A的不同正交基组成的列空间中，b会有着不同的投影b’，对吗？
如果有不同的多个b’，哪个b’才是真正的所需要的b’呢？或者说我们需要哪个b’呢？
1回答
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liuyubobobo
2023-06-09
我不很确定我是不是完全理解了你的问题，但是下面的这句话是不正确的：
A的列空间中，有无数个正交基组成的列空间，在A的不同正交基组成的列空间中，b会有着不同的投影b’。
=========
A 只有一个列空间。
A 的这个列空间可以有无数个正交基，这是正确的。
但是，不管取哪一个正交基，b 在这个列空间中只有一个投影。（你可以想象，在一个三维空间中，一个二维平面和一个向量，这个向量在这个二维平面上的投影是固定的。就那一个。）
但是（或许这是让你迷惑的点）：
取不同的正交基，会让这个投影 b 的表示不同。
这应该很好理解，在不同的标准正交基下，同样的向量的表示是不同的。这也是我之前课程举的这个例子的意思（在课程后续会介绍坐标系的变换，处理的也是这个问题：）
在标准坐标系下的 (12, 8)，在 (4, 1), (2, 3) 代表的坐标系下，其表示是 (2, 2)
（或者反之，在 (4, 1), (2, 3) 代表的坐标系下的坐标 (2, 2)，在标准坐标系下的表示是 (12, 8) ）
当然，我们还可以在这个二维空间中找无数的坐标系，所以，这同一个向量有无数的表示，我们在交流的时候，取的是哪一个表示？
答案是标准坐标系的表示。
因为这是我们看待矩阵 A 的坐标系。
换句话说，在上面的例子中，如果我问你 （2， 2） 在 （4， 1）， （2， 3） 这两个列向量生成的空间中的坐标是什么？
（4， 1）， （2， 3）生成的空间，有无数的正交基，我们是怎么确定最终的答案的？为什么取 （12， 8）。
答案是，（12， 8）是标准坐标下这个向量的结果。我们之所以去这个结果，是因为当我问你（4， 1），（2， 3）这两个列向量生成的空间的时候，（4， 1） 和 （2， 3）是从标准坐标下观察出来的结果。所以你也应该给我相应这个坐标系下的答案。
再聚一个例子：我们现在只考虑投影的问题。比如在下面的图中：
我们要计算 b 在 a 上的投影向量 p，我们算出来的是什么？
要知道 a 本身构成了一个空间（一维空间），这个空间也有无数的基（方向只有两个，但是在两个方向上什么是一个单位有无数中定义方式。）
答案是，我们算出来的是 a 在标准坐标系下的坐标。也就是我们描述 b 和 p 的坐标。
希望我解释清楚了。
继续加油！：）
212023-06-11
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